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Python小白的数学建模课-B6. 新冠疫情 SEIR 改进模型

传染病的数学模型是数学建模中的典型问题,常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SEIR 模型考虑存在易感者、暴露者、患病者和康复者四类人群,适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。

本文详细给出了几种改进 SEIR 模型微分方程的思路、建模、例程和结果,让小白学会模型分析与改进。

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Python小白的数学建模课-09.微分方程模型
Python小白的数学建模课-B2.新冠疫情 SI模型
Python小白的数学建模课-B3.新冠疫情 SIS模型
Python小白的数学建模课-B4.新冠疫情 SIR模型
Python小白的数学建模课-B5.新冠疫情 SEIR模型
Python小白的数学建模课-B6.改进 SEIR疫情模型

1. SEIR 基本模型

1.1 SEIR 模型的结构

SEIR 模型考虑存在易感者(Susceptible)、暴露者(Exposed)、患病者(Infectious)和康复者(Recovered)四类人群,适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者(S 类)被感染后成为潜伏者(E类),随后发病成为患病者(I 类),治愈后成为康复者(R类)。这种情况更为复杂,也更为接近实际情况。

SEIR 模型的仓室结构示意图如下:

1.2 SEIR 模型的假设

  • 考察地区的总人数 N 不变,即不考虑生死或迁移;

  • 人群分为易感者(S 类)、暴露者(E 类)、患病者(I 类)和康复者(R 类)四类;

  • 易感者(S 类)与患病者(I 类)有效接触即变为暴露者(E 类),暴露者(E 类)经过平均潜伏期后成为患病者(I 类);患病者(I 类)可被治愈,治愈后变为康复者(R 类);康复者(R类)获得终身免疫不再易感;

  • 将第 t 天时 S 类、E 类、I 类、R 类人群的占比记为 \\(s(t)\\)\\(e(t)\\)\\(i(t)\\)\\(r(t)\\),数量分别为 \\(S(t)\\)\\(E(t)\\)\\(I(t)\\)\\(R(t)\\);初始日期 \\(t=0\\) 时,各类人群占比的初值为 \\(s_0\\)\\(e_0\\)\\(i_0\\)\\(r_0\\)

  • 日接触数 \\(\\lambda\\),每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数;

  • 日发病率 \\(\\delta\\),每天发病成为患病者的暴露者占暴露者总数的比例;

  • 日治愈率 \\(\\mu\\),每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例,即平均治愈天数为 \\(1/\\mu\\)

  • 传染期接触数 \\(\\sigma = \\lambda / \\mu\\),即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数。

  • 1.3 SEIR 模型的微分方程

    \\[\\begin{cases}
    \\begin{align*}
    & \\frac{ds}{dt} = -\\lambda s i, &s(0)=s_0\\\\
    & \\frac{de}{dt} = \\lambda s i - \\delta e, &e(0)=e_0\\\\
    & \\frac{di}{dt} = \\delta e - \\mu i, &i(0)=i_0
    \\end{align*}
    \\end{cases}
    \\]

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