百木园传染病的数学模型是数学建模中的典型问题，常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。
考虑存在易感者、暴露者、患病者和康复者四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。
本文详细给出了 SEIR 模型微分方程的建模、例程、结果和分析，让小白都能懂。
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1. SEIR 模型
1.1 SEIR 模型的提出
建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，要根据传染病的发病机理和传播规律， 结合疫情数据进行拟合分析，可以认识传染病的发展趋势，预测疫情持续时间和规模，分析和模拟各种防控措施对疫情发展的影响程度， 为传染病防控工作提供决策指导，具有重要的理论意义和现实意义。
SI 模型是最简单的传染病传播模型，把人群分为易感者（S 类）和患病者（I 类）两类，通过 SI 模型可以预测传染病高潮的到来；提高卫生水平、强化防控手段，降低病人的日接触率，可以推迟传染病高潮的到来。在 SI 模型基础上发展的 SIS 模型考虑患病者可以治愈而变成易感者，SIS 模型表面传染期接触数 \\(\\sigma\\) 是传染病传播和防控的关键指标，决定了疫情终将清零或演变为地方病长期存在。在 SI 模型基础上考虑病愈免疫的康复者（R 类）就得到 SIR 模型，通过 SIR 模型也揭示传染期接触数 \\(\\sigma\\) 是传染病传播的阈值，满足 \\(s_0>1/\\sigma\\) 才会发生传染病蔓延，由此可以分析各种防控措施，如：提高卫生水平来降低日接触率\\(\\lambda\\)、提高医疗水平来提高日治愈率 \\(\\mu\\)，通过预防接种达到群体免疫来降低 \\(s_0\\) 等。
传染病大多具有潜伏期（incubation period），也叫隐蔽期，是指从被病原体侵入肌体到最早临床症状出现的一段时间。在潜伏期的后期一般具有传染性。不同的传染病的潜伏期长短不同，从短至数小时到长达数年，但同一种传染病有固定的（平均）潜伏期。例如，流感的潜伏期为 1～3天，冠状病毒感染的潜伏期为4~7天，新型冠状病毒肺炎传染病（COVID-19）的潜伏期为1-14天（* 来自：新型冠状病毒肺炎诊疗方案试行第八版，潜伏时间 1～14天，多为3～7天，在潜伏期具有传染性），肺结核的潜伏期从数周到数十年。
SEIR 模型考虑存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康复者（Recovered）四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者（S 类）被感染后成为潜伏者（E类），随后发病成为患病者（I 类），治愈后成为康复者（R类）。这种情况更为复杂，也更为接近实际情况。
SEIR 模型的仓室结构示意图如下：
1.2 SEIR 模型假设
考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移；
人群分为易感者（S 类）、暴露者（E 类）、患病者（I 类）和康复者（R 类）四类；
易感者（S 类）与患病者（I 类）有效接触即变为暴露者（E 类），暴露者（E 类）经过平均潜伏期后成为患病者（I 类）；患病者（I 类）可被治愈，治愈后变为康复者（R 类）；康复者（R类）获得终身免疫不再易感；
将第 t 天时 S 类、E 类、I 类、R 类人群的占比记为 \\(s(t)\\)、\\(e(t)\\)、\\(i(t)\\)、\\(r(t)\\)，数量分别为 \\(S(t)\\)、\\(E(t)\\)、\\(I(t)\\)、\\(R(t)\\)；初始日期 \\(t=0\\) 时，各类人群占比的初值为 \\(s_0\\)、\\(e_0\\)、\\(i_0\\)、\\(r_0\\)；
日接触数 \\(\\lambda\\)，每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数；
日发病率 \\(\\delta\\)，每天发病成为患病者的暴露者占暴露者总数的比例；
日治愈率 \\(\\mu\\)，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例，即平均治愈天数为 \\(1/\\mu\\)；
传染期接触数 \\(\\sigma = \\lambda / \\mu\\)，即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数。
1.3 SEIR 模型的微分方程
由
\\[\\begin{align}
& N \\frac{ds}{dt} = - N \\lambda s i\\\\
& N \\frac{de}{dt} = N \\lambda s i - N \\delta e\\\\
& N \\frac{di}{dt} = N \\delta e - N \\mu i\\\\
& N \\frac{dr}{dt} = N \\mu i\\\\
\\end{align}
\\]
来源：https://www.cnblogs.com/youcans/p/14993108.html
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