百木园本节以一个实际数学建模案例，讲解 PuLP 求解线性规划问题的建模与编程。
1、问题描述
某厂生产甲乙两种饮料，每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名，获利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名，获利9万元。
今工厂共有原料60千克、工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
（1）问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
（2）若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
（3）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，是否应否改变生产计划？
（4）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
（5）若不允许散箱（按整百箱生产），如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
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2、用PuLP 库求解线性规划
2.1 问题 1
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 编程
ProbLP1 = pulp.LpProblem(\"ProbLP1\", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 1，求最大值
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=8, cat=\'Continuous\') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7.5, cat=\'Continuous\') # 定义 x2
ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60) # 不等式约束
ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP1.solve()
print(ProbLP1.name) # 输出求解状态
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[ProbLP1.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP1.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F1(x)=\", pulp.value(ProbLP1.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
ProbLP1
x1=6.4285714
x2=4.2857143
F1(X)=102.8571427
2.2 问题 2
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
x3：增加投资（单位：万元）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 编程
ProbLP2 = pulp.LpProblem(\"ProbLP2\", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 2，求最大值
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=8, cat=\'Continuous\') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7.5, cat=\'Continuous\') # 定义 x2
x3 = pulp.LpVariable(\'x3\', cat=\'Continuous\') # 定义 x3
ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60) # 不等式约束
ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP2.solve()
print(ProbLP2.name) # 输出求解状态
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[ProbLP2.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP2.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F2(x)=\", pulp.value(ProbLP2.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
ProbLP2
x1=8.0
x2=3.5
x3=4.4
F2(X)=107.1
2.3 问题 3
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 11*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 编程
ProbLP3 = pulp.LpProblem(\"ProbLP3\", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 3，求最大值
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=8, cat=\'Continuous\') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7.5, cat=\'Continuous\') # 定义 x2
ProbLP3 += (11 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束
ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP3.solve()
print(ProbLP3.name) # 输出求解状态
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[ProbLP3.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP3.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F3(x) =\", pulp.value(ProbLP3.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
ProbLP3
x1=8.0
x2=2.4
F3(X) = 109.6
2.4 问题 4
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
x3：增加投资（单位：万元）
目标函数：
max fx = 11*x1 + 9*x2 - x3
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 编程
ProbLP4 = pulp.LpProblem(\"ProbLP4\", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 2，求最大值
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=8, cat=\'Continuous\') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7.5, cat=\'Continuous\') # 定义 x2
x3 = pulp.LpVariable(\'x3\', cat=\'Continuous\') # 定义 x3
ProbLP4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60) # 不等式约束
ProbLP4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP4.solve()
print(ProbLP4.name) # 输出求解状态
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[ProbLP4.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP4.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F4(x) = \", pulp.value(ProbLP4.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
ProbLP4
x1=8.0
x2=3.5
x3=4.4
F4(X) = 115.1
2.5 问题 5：整数规划问题
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量，正整数（单位：百箱）
x2：乙饮料产量，正整数（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 为整数
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7
说明：本题中要求饮料车辆为整百箱，即决策变量 x1,x2 为整数，因此是整数规划问题。PuLP提供了整数规划的
（2）Python 编程
ProbLP5 = pulp.LpProblem(\"ProbLP5\", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 1，求最大值
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=8, cat=\'Integer\') # 定义 x1，变量类型：整数
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7.5, cat=\'Integer\') # 定义 x2，变量类型：整数
ProbLP5 += (10 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束
ProbLP5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP5.solve()
print(ProbLP5.name) # 输出求解状态
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[ProbLP5.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP5.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F5(x) =\", pulp.value(ProbLP5.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
ProbLP5
x1=8.0
x2=2.0
F5(X) = 98.0
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