百木园1、什么是线性规划
线性规划（Linear programming），在线性等式或不等式约束条件下求解线性目标函数的极值问题，常用于解决资源分配、生产调度和混合问题。例如：
max fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3
s.t. x1 + 3*x2 + x3 <= 12
2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10
x1 + x2 + x3 = 7
x1, x2, x3 >=0
线性规划问题的建模和求解，通常按照以下步骤进行：
（1）问题定义，确定决策变量、目标函数和约束条件；
（2）模型构建，由问题描述建立数学方程，并转化为标准形式的数学模型；
（3）模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果；
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2、PuLP 库求解线性规划
PuLP是一个开源的第三方工具包，可以求解线性规划、整数规划、混合整数规划问题。
下面以该题为例讲解 PuLP 求解线性规划问题的步骤：
（0）导入 PuLP库函数
import pulp
（1）定义一个规划问题
MyProbLP = pulp.LpProblem(\"LPProbDemo1\", sense=pulp.LpMaximize)
pulp.LpProblem 是定义问题的构造函数。
\"LPProbDemo1\"是用户定义的问题名（用于输出信息）。
参数 sense 用来指定求最小值/最大值问题，可选参数值：LpMinimize、LpMaximize 。
（2）定义决策变量
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=7, cat=\'Continuous\')
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7, cat=\'Continuous\')
x3 = pulp.LpVariable(\'x3\', lowBound=0, upBound=7, cat=\'Continuous\')
pulp.LpVariable 是定义决策变量的函数。
\'x1\' 是用户定义的变量名。
参数 lowBound、upBound 用来设定决策变量的下界、上界；可以不定义下界/上界，默认的下界/上界是负无穷/正无穷。本例中 x1,x2,x3 的取值区间为 [0,7]。
参数 cat 用来设定变量类型，可选参数值：\'Continuous\' 表示连续变量（默认值）、\' Integer \' 表示离散变量（用于整数规划问题）、\' Binary \' 表示0/1变量（用于0/1规划问题）。
（3）添加目标函数
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3 # 设置目标函数
添加目标函数使用 \"问题名 += 目标函数式\" 格式。
（4）添加约束条件
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10) # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12) # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7) # 等式约束
添加约束条件使用 \"问题名 += 约束条件表达式\" 格式。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，不等式约束可以是 小于等于 或 大于等于，分别使用关键字\">=\"、\"<=\"和\"==\"。
（5）求解
MyProbLP.solve()
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 输出求解状态
for v in MyProbLP.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F(x) = \", pulp.value(MyProbLP.objective)) #输出最优解的目标函数值
solve() 是求解函数。PuLP默认采用 CBC 求解器来求解优化问题，也可以调用其它的优化器来求解，如：GLPK，COIN CLP/CBC，CPLEX，和GUROBI，但需要另外安装。
3、Python程序和运行结果
完整的程序代码如下：
import pulp
MyProbLP = pulp.LpProblem(\"LPProbDemo1\", sense=pulp.LpMaximize)
x1 = pulp.LpVariable(\'x1\', lowBound=0, upBound=7, cat=\'Continuous\')
x2 = pulp.LpVariable(\'x2\', lowBound=0, upBound=7, cat=\'Continuous\')
x3 = pulp.LpVariable(\'x3\', lowBound=0, upBound=7, cat=\'Continuous\')
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3 # 设置目标函数
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10) # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12) # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7) # 等式约束
MyProbLP.solve()
print(\"Status:\", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 输出求解状态
for v in MyProbLP.variables():
print(v.name, \"=\", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print(\"F(x) = \", pulp.value(MyProbLP.objective)) #输出最优解的目标函数值
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程序运行结果如下：
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015
Status: Optimal
x1 = 6.4285714
x2 = 0.57142857
x3 = 0.0
F(x) = 14.57142851
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